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   박우진 
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   제11화 - 과학 재미있게 하기~! - 질문과 문제 접근 방법에 관해

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과학 재미있게 하기~! - 질문과 문제 접근 방법에 관해
얼마전 TV 어느 프로그램에서 한 사람이 '아이들에게 호기심을 유발하여 과학에 흥미를 느끼게 하는 것이 중요하다'고 강조하면서, 호기심을 유발시킬 수 있는 재미있는 실험을 하나 보여주었다. 실험의 내용인 즉슨 '새 잠재우기' 였다. 어떻게 하면 새를 몇 초 안에 잠재울 수 있을까? 신기하게도 실험자가 새의 눈을 손으로 가리우니 몇 초 지나지 않아 새가 쓰러져 잠이들어 버렸다. 그 사람은 '그 신기함'을 토대로 과학이 어렵기만 한 것은 아니며 얼마든지 우리가 흥미를 느낄 수 있는 것이란걸 아이들에게 보여주어야 한다는 것을 강조했다. 이렇듯 요즘 깨어있는 교육자들은 교육 현장에서 다양한 과학 교육 방법들을 개발해 호응을 얻고 있다. 지난 기사인 '물리 시뮬레이션 교육의 중요성'도 이러한 맥락의 일부라 할 수 있다. 그렇다면 이번에는 '흥미를 유발시키는 질문'들에 대해 생각해 보고, 해답에 접근하는 다양한 방법들에 대해 살펴보자. 우리가 그냥 자연스럽게 지나쳐 버리는 현상이나 사물에도 사실 조금만 깊이 들여다 보면 '재미있는 진실'이 숨겨져 있다는 걸 깨달으면 세상이 더 신기하고 아름다울 뿐만 아니라, 학교 수업시간에 늘 지루해 하던 과학의 다른 매력을 느낄 수 있을 것이다.
 하나.일상으로부터 출발하기
    일상으로부터 출발하기
자~ 집에 있는 고양이를 가지고 실험을 해보자.(좀 잔인한가? ^^) 창틀에서 잠자기를 즐기는 고양이를 대개는 아파트 건물 내에 가두어 놓는다. 그러나 고양기가 우발적으로 창틀에서 굴러 보도위로 떨어질 때 7, 8층 이상이면 상처의 정도(금이 간 뼈의 갯수 또는 죽을 확률 등)는 높이에 따라 오히려 줄어든다.(심지어 어떤 고양이는 32층에서 떨어졌을 때 기록적으로 겨우 가슴과 이빨 한 개에만 약간의 손상이 있었을 뿐이었다.) 그 이유는 무엇일까?
    머릿속으로 답 유추하기
우선 고양이의 주위 환경을 살펴보자. 바람, 새, 구름 이런것들? ^^ 여기서 주위 환경이란 고양이에게 작용하는 물리적 힘을 말한다. 먼저 중력을 생각할 수 있다. 고양이는 지구와의 상호작용으로 아랫쪽으로 중력을 받는다. 다른 힘은 없는 것일까? 공기가 없다면 고양이에게 작용하는 힘은 그게 다 이다. 그러나 아무리 높은 아파트라도 공기 중에 있기 마련이므로 고양이는 떨어지면서 공기에 의한 저항력을 받는다. 이러한 저항력은 늘 물체의 운동방향과 반대 방향으로 생기게 된다. 고양이가 아랫쪽으로 떨어지므로 공기로 인한 저항력은 윗쪽으로 작용하게 된다. 따라서 고양이의 운동은 중력과 공기 저항력 두가지 힘에 의해 결정될 것이다. 내가 벽에 머리를 부딪치는 상상을 해보자. 어떤 경우에 더 많이 다칠까? 곰곰히 생각해 보면 내가 머리를 빨리 부딪칠 때 더 많이 다칠 것이다. 다시 말하면 나의 부상 정도는 내 머리가 벽에 다가가는 속도에 의존함을 알 수 있다. 고양이도 마찬가지 일 것이다. 고양이가 다치는 정도는 고양이가 떨어지는 속도에 의존한다. 높은 곳에서 떨어질 수록 고양이가 땅에 도달하는 최종 속도는 줄어든다는 것일까? 그렇다면 이는 아마 공기의 저항력이 고양이의 속도가 커짐에 따라 증가하기 때문일 것이다. 자~ 여기까지는 머릿속으로 상상이 갈 것이다.
    유추한 답 정량적으로 계산하기

위에서 유추한대로 실마리는 속도가 증가함에 따라 저항력이 커지는데 있다. 유체는 흐르는 물질인데 대개는 기체이거나 액체이다. 유체와 어떤 물체 사이에 상대적인 속도가 있을 때(고양이가 공기중에서 아래로 떨어질 때), 물체는 상대운동을 방해하는 방향, 즉 상대운동과 반대방향으로 끌림항력 D를 받게 된다. 여기서 유체는 공기이고, 물체는 화살같이 가늘지 않고 야구공이나 고양이 같이 부피가 있으며 상대적인 운동이 충분히 빨라서 물체 뒷 부분에 소용돌이 같은 난류가 생기는 경우만을 생각하기로 한다. 이런 경우에는 끌림항력 D의 크기는 상대속도 v와 다음의 관계가 있다.

여기서 끌림항력계수 C는 실험적으로 정해지는 양이고 ρ는 공기밀도(질량/부피) 그리고 A는 물체의 유효단면적(속도 v에 수직한 단면적)이다. 끌림항력계수 C(대개 0.4에서 1.0의 값을 가짐)는 v가 아주 많이 변하면 C값도 변하기 때문에 주어진 물체에 대해서 엄밀하게는 상수라고 볼 수 없으나 여기서는 그런 점을 무시하고 상수로 취급하겠다.

위의 식으로부터 부피가 있는 물체가 정지상태로부터 공기 중을 떨어질 때 D는 물체의 속력이 빨라지면서 0에서부터 점차 증가하게 됨을 알 수 있다. 아래의 고양이 그림에서 처럼 물체가 충분히 내려온 후에는 D가 물체의 무게 W(=mg)와 같게 되어 물체에 작용하는 연직방향의 알짜힘은 결국 0이 된다. 그렇게 되면 Newton의 제2법칙에 의해 가속도가 0이 되고 물체의 속력은 더 이상 증가하지 않는다. 이 때 물체는 일정한 종단속도 vt로 떨어지게 되는데 D=mg, 즉

로부터

를 얻을 수 있다. 아래 표는 몇 가지 물짇들에 대한 종단속도 값을 나타낸다.

양이가 종단속도를 갖기 위해서는 대략 6층 높이에서 떨어져야 한다. 이 동안 고양이의 무게는 끌림항력보다 크고(W>D) 전체 힘이 아래 방향이므로 고양이는 밑으로 가속된다. 고양이가 처음 떨어질 때는 그 가속도에 놀라(신기한 일이다. ^^) 발을 몸에 붙이고, 머리를 끌어들이며, 척추를 위로 구부려서 A를 작게 하고 vt를 크게 해서 땅에 닿을 때 다치기 쉽다. 그러나 고양이의 속력이 vt가 되면 가속도가 없어지고 고양이는 오히려 어느 정도 여유가 생겨 다리도 뻗고 목도 밖으로 내밀고 척추도 쭉 뻗게 된다.(이 때는 날아다니는 다람쥐 같다.) 그렇게 함으로써 A와 D가 증가해서 D>W가 되고 전체 힘은 위쪽 방향이 되어 vt가 오히려 직전보다 작아져서 고양이는 천천히 떨어지게 되며 vt가 작아지기 때문에 땅에 닿을 때 다칠 확률이 줄어든다. 땅에 닿기 직전에 고양이는 착지에 대비하기 위해 다리를 다시 몸쪽으로 잡아당긴다.

    속임수는 없는 것일까?
자~ 이론적으로는 그럴 듯 하다. ^^ 그런데 정말 6층 높이에선 고양이가 종단 속도에 다다르는 것일까? 후훗~! 새끼 고양이도 있고, 커다란 엄마 고양이도 있을텐데.. --;; 위의 식에서 보면 종단 속도는 물체의 무게에 의존함을 볼 수 있다. 그러므로 고양이의 크기에 따라 4층 높이일 수도 8층 높이일 수도 있을 것이다. 혹 아주 마른 고양이라면 A값이 작아 종단 속도가 더 커진다. 이 경우는 속임수는 아닐지라도 위의 값들은 얼마든지 헛점을 가지고 있음을 말해준다.(크게는 위의 결과는 그냥 누군가 이론적으로 그럴것이다~ 라고 계산한 값이지 실제 실험해서 얻은 값이 아닐지도 모른다! - 속은걸까? ^ ^) 해답에 이르고 나서도 그 문제를 다시금 깊이 있게 새겨보는 것이 중요하다. 머릿속으로 그 물리적 상황을 그대로 재현해 보는 것도 좋다. 그러다 보면 더욱 깊이 있게 이해할 수 있고, 혹은 의문이 생겨 다시금 문제를 짚어 볼 수 있다.
 둘. 현상에 의문 가지기 1
    현상에 의문 가지기

고양이 문제에서 처럼 우리는 일상으로 부터 '흥미있는 생각거리'를 찾을 수 있다. 이를 위해서는 우선 현상에 의문을 가지고 생각해보는 습관이 필요하다.

내가 만일 앞쪽으로 멀리 뛴다면 머리와 몸통은 마치 외야에 던진 야구공 같이 포물선 경로를 따를 것이다. 그러나 아래 그림에서와 같이 숙련된 발리리나가 무대에서 그랑제떼를(그림과 같은 동작) 하면 머리와 몸통은 공중에 떠 있는 대부분의 시간동안 거의 수평인 경로를 따를 것이다. 마치 발레리나가 무대를 떠다니는 것 같다. 관중들은 비록 Newton의 운동법칙을 모른다 하더라도 무엇인가 이상한 일이 일어났음을 느낀다. 어떻게 발레리나가 Newton의 운동법칙을 깨듯이 움직일 수 있는 것일까?

    의문을 사람들과 토론하고 실험해보기
발레를 보고 집으로 돌아와 실험을 해본다면, 아마 실험자는 자신이 포물선 운동을 함을 관측할 것이다. 혹은 학교에 가서 친구들과 의문점을 실험해본다면, 실험자의 동작이 발레리나의 동작과 어떻게 다른지를 지적받을 수 있을 것이며, 그로부터 어떤 결과가 초래되는지를 토론해볼 수 있다. 해답은 발레리나의 손과 발동작에 있다. 아래 그림에서 처럼 발레리나는 무대에서 도약하여 가로지르면서 두 팔을 올리고 수평하게 다리를 뻗는다. 이러한 행동은 그녀의 질량중심을 몸속으로 끌어올린다. 이는 다리가 수평으로 잘 올라가지 않는 우리의 동작과는 사뭇 다르다.(평범한 사람의 동작으로는 질량중심이 그만큼 올라가지 않는다는 얘기다.) 물체가 포물선 운동을 한다는 얘기는 바꾸어 말하면 물체의 질량중심이 포물선 운동을 한다는 말이다. 그러므로 아래의 발레리나처럼 동작하면 이동하는 질량중심은 포물선 경로를 충실하게 따르지만, 몸에 대한 질량중심의 상대적인 움직임으로 인해 머리와 몸통의 높이는 정상적으로 뛰어올랐을 때보다 감소된다. 결과적으로 머리와 몸통은 거의 수평인 경로를 따른다. 자~ 답을 얻긴 했지만 좀 더 생각해보자. 과연 그럴까? 머릿 속으로 상황을 재현해 보자. 혹은 유사한 다른 실험을 생각해내 보자. '커다란 포탄을 던지는데 그 포탄은 신기한 포탄이어서 내부에 무게 중심을 아래에서 위로 바꾸는 프로그램이 내장되어 있는거야.. 그러면 포탄을 멀리 던지지 않고 그냥 손으로 별로 높지 않게 던진다면 비슷한 일이 일어나지 않을까?..' 이런 실험은 어떨까? ^^
 셋. 현상에 의문가지기 2
    현상에 의문가지기

또 다른 재미있는 의문을 가져보자.

남미 대륙의 강가에 사는 전기 뱀장어는 거의 1암페어에 이르는 전류 펄스로 다른 물고기를 죽일 수 있다. 왜냐하면 전기 뱀장어의 몸에 약 수백볼트의 전기퍼텐셜차가 형성되어 있기 때문이다. 이때 전류는 머리 쪽에서 꼬리 쪽으로 주위의 물을 통해 흐른다. 이런 전기뱀장어를 물 속에서 만나면 전기쇼크로 고통스러울 것이다. 그런데 전기뱀장어는 자신이 만드는 엄청난 전류의 충격으로부터 어떻게 자기자신을 보호할 수 있을까? 뱀장어 자신이 전기 쇼크를 견뎌가며 전류 펄스를 만들어내는 것일까?

대치해서 생각하기

전기 뱀장어는 몸으로 전기퍼텐셜차를 만들어내므로 이를 회로로 대치해서 생각하면 어떨까? 실제로 위 사진의 남미산 전기뱀장어 안에는 5000개의 전기세포가 수평으로 140줄이 배열되어 있다. 그러므로 이 전기 세포를 아래와 같은 회로로 대치해 문제를 해결해 보자.

    

우선 직관적으로 답을 유추해보자. 전기 뱀장어와 물이 이루는 폐회로를 유심히 살펴보면, 전기 뱀장어가 만들어내는 전기퍼텐셜차에 의해 만들어지는 전류는 전기 뱀장어와 물이 만드는 폐회로를 따라 흐르게 된다. 이때 전기 뱀장어엔 140개의 회로가 병렬로 연결되어 있기 때문에 전류는 140개의 줄에 나뉘어 흐르게 된다. 그러므로 각각의 줄에 흐르는 전류의 양이 아주 작을 것임을 유추할 수 있다. 이제 이를 정량적으로 계산해보자.

각각의 전기세포가 0.15V의 전기퍼텐셜차를 만들어 낸다고 하면 한 줄에 5000개의 전기세포가 일렬로 배열되어 있으므로 전체 퍼텐셜차는 750V가 된다. 또한 전기세포 각각의 내부저항이 0.25옴이라고 하면 한 줄의 전체저항은 5000x0.25옴=1250옴이 된다. 그러므로 이러한 줄 140개가 병렬로 연결되어 있는 전기 뱀장어의 전체 저항은 저항의 병렬연결 식을 이용하면 1250옴/140=8.93옴이 된다. 물의 저항을 대략 800옴이라 하면, 물과 뱀장어를 따라 흐르는 전류는 750V/(800옴+8.93옴)=0.927A 정도 된다. 따라서 전기뱀장어 내부 각각의 줄을 통해서 흐르는 전류의 세기는 0.927A/140=6.6mA정도가 된다. 이 크기는 주위의 물을 통해서 흐르는 전류보다 약 100배 정도나 적은 양이다. 즉 주위의 다른 물고기에 전기적 충격을 주어서 죽게 할 때 전기 뱀장어 자신은 전기적 충격을 받지 않는 것을 알 수 있다.

이 문제를 해결하기 위해서 우리는 전기 뱀장어 전기 세포를 회로도로 대치시켜 생각했다. 문제를 단순화 시켜서 우리가 이해하기 쉬운 형태로 대치시키는 것은 문제의 핵심을 파악하는 빠르고 좋은 방법이다.

 넷. 과학에 관심갖고 적극적으로 접근하기
    과학에 관심갖고 적극적으로 접근하기

몇 가지 흥미있는 질문들을 던지고 다양한 방법으로 문제를 해결해보았다. 조금 더 관심을 갖고 책을 보고 자료를 접하다 보면 우리는 수 많은 흥미있는 질문들을 만날 것이다. 예를 들어 우주에 관심을 가지고 그와 관련된 자료를 보다보면 우리는 블랙홀을 자연스럽게 접하게 되고, 다음과 같은 의문을 가질 수도 있을 것이다. '블랙홀이란 한 별이 자체의 중력에 의해 완전히 수축된 상태라서 블랙홀 근방의 중력은 너무나도 강하다. 그렇다면 빛도 새어 나오지 못할텐데 우리는 블랙홀을 어떻게 알아볼 수 있을까?'

    전문적인 자료 찾아보기
위의 질문을 해결하기 위해선 약간의 전문 지식이 필요하다. 블랙홀을 알아볼 수 있는 방법중의 하나는, 우주에서 이중성을 찾아(그 중 하나는 보이는 별이고 다른 하나가 안 보이는 별이라고 하면) 보이는 별의 궤도 속력과 주기를 안다면 이 보이지 않는 별의 질량을 구할 수 있고, 별의 질량이 아주 클 경우(중성자 별의 경우보다 훨씬 크다면) 블랙홀일 확률이 높다.
 다섯. 문제에 접근하는 방법의 중요성
물론 우리는 여태껏 사건 자체에는 흥미를 느껴왔는지도 모른다. 단지 단순한 호기심만으로는 그 내용을 정확하게 알 수 없었기 때문에 흥미를 잃어버리거나 생각하기를 뒤로 미뤄왔을 수도 있다. 그렇다면 여기서 필요한건 흥미와 호기심을 유지시키고 문제를 재미있게 해결해나갈 수 있게 하는 강한 동기부여다. 이러한 동기는 앞서 제시했었던 '흥미있는 문제 제기'를 통해 부여될 수도 있으나, 문제를 재미있게 해결해 가는 방법을 스스로 깨우친다면 그 '재미' 자체가 강한 동기가 될 수 있을 것이다.
Reference : Halliday & Resnick, Fundamentals of Physics , 4th edition(1995


    

 


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